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November 26, 2021
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Transcript
RSAશཧղϝϞ 2021/11/26 ࣾษڧձ
͡Ίʹ
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ͳͷͰ͍Ζ͍Ζௐͨ
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RSAͷૢ࡞
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҉߸Խͷૢ࡞ • Ҏ߱ϓϨʔϯςΩετΛm, ҉߸ԽจࣈྻΛcͱ͠·͢ • RSAͷ҉߸Խ Enc(m) := m^e mod
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• ͖ͬ͞ͷ෮߸ͱ͋Θͤͯཧ͢Δͱ (m^e mod n)^d mod n ͢Δͱm ʹΔͱ͍͍ͬͯΔ • nΛ๏ͱ͢ΔmodͱΔૢ࡞్தͰͬͯলུͯ݁͠Ռ͔ΘΒ ͳ͍ͷͰ (m^e)^d mod n ͱܭࢉͯ͠ಉ͡
ͨΊͯ͠ΈΑ͏ • m = (m^e mod n)^d mod n ͕Γཱͭͱͯ͠ܭࢉͯ͠ΈΔ
• దʹn=35, e=5, d=5, m=4ͱ͔Ͱࢼͯ͠ΈΔ • m^e mod n = 4^5 mod 35 = 1024 mod 35 = 9 • c^d mod n = 9^5 mod 35 = 59049 mod 35 = 4 • 0 < m < n ͷൣғʹཱ͓͍ͯ͢Δ
(m^e)^d ≡ m (mod n) ͷূ໌(1) • ཧͯ͠m^de ≡ m
(mod n) • ͜͜Ͱ de ʹ͍ͭͯɺ de ≡ 1 (mod (p-1)(q-1)) ͱͳΔΑ͏ͳ͔ͩΒ ͳʹ͔͠Βͷ(p-1)(q-1)ͷഒʹ1ͨ͠Ͱ de = 1 + s(p-1)(q-1) ͱ ͔͚Δ • m^de = m^(1+s(p-1)(q-1)) = m(m^(p-1)(q-1))^s ͱ͔͚Δɻ͜ΕͰm ͷഒͷܗͰ͔͚ͨ
(m^e)^d ≡ m (mod n) ͷূ໌(2) • ·ͱΊΔͱ m(m^(p-1)(q-1))^s ≡
m (mod n) ͱͳΕΑ͍ • άοͱᛀΉͱ m^(p-1)(q-1) mod n ͕ͳʹ͔ͷखҧ͍Ͱ1ʹͳͬͯ͘Ε Δͱm(1)^s ≡ m (mod n) ͱͳͬͯ͘Εͦ͏ • ͦΜͳ߹ͷ͍͍͜ͱ…͋ΔΘ͚…͋ΔΘ͚…
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ϑΣϧϚʔͷখఆཧ • pૉ, aͰޓ͍ʹૉͱ͢Δͱ͖ҎԼ͕Γཱͭ • a^(p-1) ≡ 1 (mod p)
• ূ໌հ͍͚ͨ͠Ͳۮવʹखݩʹࢴ͕ແ͍ͷͰলུ͠·͢ • ͦͦ͜͜؆୯ͳͷͰ͕࣌ؒ༨ͬͨΒܰ͘հ͢Δ͔
(m^e)^d ≡ m (mod n) ͷূ໌(3) m^(p-1)(q-1) ≡ 1 (mod
n) Λͱ͘ • ํͱͯ͠ͳΜ͔ͯ͠ m^(p-1)(q-1) -1 ≡ 0 (mod n) ͰׂΓΕ Δ͜ͱΛ֬ೝ͢ΔํͰؤுΔ • ↑͕Γཱͯมܗͯ͠ m^(p-1)(q-1) ≡ 1 (mod n) ͕ٻ·Δ
(m^e)^d ≡ m (mod n) ͷূ໌(4) m^(p-1)(q-1) ≡ 1 (mod
n) Λͱ͘ • (m^(p-1))^(q-1) ͱมܗͯ͠ߟ͑Δ • qૉ͔ͩΒɺm͕ࣗqͷഒͰͳ͍ݶΓ m^(p-1) ͱޓ͍ʹૉ ͳͷͰɺϑΣϧϚʔͷখఆཧΑΓ (m^(p-1))^(q-1) ≡ 1 (mod q) • ׂΓΕΔܗʹཧ͢Δͱ (m^(p-1))^(q-1) -1 ≡ 0 (mod q) • m^(p-1)(q-1) -1 ≡ 0 (mod q) ͕ࣔͤͨ … (i
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(m^e)^d ≡ m (mod n) ͷূ໌(6) m^(p-1)(q-1) ≡ 1 (mod
n) Λͱ͘ • (i, (ii ΑΓ m^(p-1)(q-1) -1 pͰqͰׂΓΕΔ • p, q૬ҧͳૉͳͷͰ͕ଘࡏ͠ͳ͍ɻͦͷͨΊͲͪΒͰׂΓ ΕΔͱ͍͏͜ͱ m^(p-1)(q-1) -1 pq ͷഒͰ͋Δ • Ҏ্ΑΓ m^(p-1)(q-1) -1 ≡ 0 (mod n) Ͱ͋Δ͜ͱ͕Θ͔Δ • มܗͯ͠ m^(p-1)(q-1) ≡ 1 (mod n) ͱͳΔʂ …(iii
(m^e)^d ≡ m (mod n) ͷূ໌(7) • m(m^(p-1)(q-1))^s ≡ m
(mod n) ͱͳΕΑ͍ • άοͱᛀΉͱ m^(p-1)(q-1) mod n ͕ͳʹ͔ͷखҧ͍Ͱ1ʹͳͬͯ͘ΕΔͱ m(1)^s ≡ m (mod n) ͱͳͬͯ͘Εͦ͏ • pqͱޓ͍ʹૉͳmͳΒ m^(p-1)(q-1) ≡ 1 (mod n) ͱͳΔͷͰˢཱ͕͢Δʂূ ໌͓ΘΓ • ͪͳΈʹpqͱm͕ૉ͡Όͳ͍ͱ͖ϑΣϧϚʔͷখఆཧͱ͔ߟ͑ͳͯ͘Αͯ͘ m͕p, qͰׂΓΕΔ͜ͱΛར༻ͯ͠୯ʹnͷഒ+mͷܗʹཧͰ͖Δ
खܭࢉͰͱͧ͘ʂ
• 1~26ͷࣈΛͦΕͧΕΞϧϑΝϕοτͷA~ZʹׂΓͯͨՍۭͷจ ࣈίʔυ͕ଘࡏ͢Δͱ͢Δ • n=35, e=5 ͕Θ͔͍ͬͯΔͱ͖ɺҎԼͷ3ͭͷ҉߸จΛղಡͯ͠Ͷ • 23,
24, 1
• 1~26ͷࣈΛͦΕͧΕΞϧϑΝϕοτͷA~ZʹׂΓͯͨՍۭͷจ ࣈίʔυ͕ଘࡏ͢Δͱ͢Δ • n=35, e=5 ͕Θ͔͍ͬͯΔͱ͖ɺҎԼͷ3ͭͷ҉߸จΛղಡͯ͠Ͷ • 23,
24, 1 • ώϯτ1: c^d mod n Ͱ෮߸Ͱ͖Δɻd de ≡ 1 (mod (p-1)(q-1)) • ώϯτ2: n = pq ͱͳΔpqʹૉҼղͰ͖Ε͋ͱܭࢉ͢Δ͚ͩ
ͨ͑͜ • n 35͔ͩΒୈײͰ 5 * 7 ͷૉҼղͰ͖Δ • Αͬͯd
5d ≡ 1 mod (5 - 1)(7 - 1) • ܭࢉ͢Δͱ5d - 1 ≡ 0 mod 24 ͱͳΓɺd = 5 ͕͋ͯ·Δ͜ͱ͕Θ͔Δ • ͋ͱ 23^5 mod 35, 24^5 mod 35, 1^5 mod 35 ΛٻΊΔ͚ͩɻखͰΔ ͱ͖͍͚ͭͲΪϦࠜੑͰղ͚Δൣғ • ղ͘ͱ 18, 19, 1 ʹͳͬͯṖͷจࣈίʔυʹরΒ͠߹ΘͤΔͱ RSA ʹͳΔʂ
ϋϯζΦϯ͔ΒΘ͔Δ͜ͱ • ૉҼղ͑͞Ͱ͖ͨΒޙܭࢉ͢Δ͚ͩ • ୯७ܭࢉίϯϐϡʔλͷಘҙͱ͢Δͱ͜ΖͳͷͰͦ͜·Ͱ͍͚ νϣϩ͍ • RSAͷ͠͞ૉҼղͷࠔ͞ʹґڌ͍ͯ͠Δɻ͕͜͜ಥഁ͞Ε Δͱγϡοͱൿີ伴͕ܭࢉ͞ΕͪΌ͏
ૉҼղͷࠔੑͱ҆શૉ
ૉҼղ͖ͪʔͧʂ • ଟ߲ࣜ࣌ؒͰͱ͚ΔΞϧΰϦζϜΈ͔ͭͬͯͳ͍ͷ… • ࢦ͔͔࣌ؒΔ͔ΒͭΒ͍ͷ… • ରͱͳΔૉͷܻ͕૿͑Ε૿͑Δ΄ͲΞϗΈ͍ͨʹ͔͔࣌ؒΔ • 200ܻ *
200ܻ͙Β͍ͩͱ͍·ͷεύίϯͰԯ͔͔ΔΑ͏Ͱ͢ (ࢦ͔͔࣌ؒΔͱ͍͏ͱ͜Ζ·Ͱ͔ͬͯ͠ͳ͍͔ΒͲ͏͍͏ܭࢉ Ͱԯͱ͍ͬͯΔͷ͔Βͳ͍)
ૉҼղޮΑ͘Ͱ͖ͳ͍ʁ • p-1๏ͱ͍͏ͷ͕͋Δ • ͘Θ͍͔͚͘͠Εͯͳ͍͚ͲɺϑΣϧϚʔͷখఆཧΛ͔ͭͬ ͨߟ͑ํͰɺૉp͔Β-1ͨ͠ͱ͖ʹখ͞ͳૉͲ͏͠ͷੵʹͳͬͯ ΔͱޮΑ͘ܭࢉͰ͖ΔΒ͍͠ • Ͱ͔͍ૉҼ͕;͘·ΕͯΔͱp-1๏ޮΑ͘Ͱ͖ͳ͍
҆શૉͱ • p, qͷ૬ҧͳૉ͕͋ͬͨͱ͖ p = 2q +1 ͱͳΔૉ •
p-1๏p-1ʹͰ͔͍ૉҼ͕͋Δͱޮ͕͋Βͳ͍ͷΛࢥ͍ग़͢ͱɺ҆શ ૉp-1๏ʹͱ͔ͬͯͳΓ૬खͨ͘͠ͳ͍(p-1ͷૉҼʹ͍͍ͩͨp/2 ͷαΠζͷόΧσΧૉ͕͋ΔͷͰ) • ҉߸తͳڧΛͭૉੜͱɺेେ͖͍҆શૉΛͭͬͯ͘͘ΕΔ ͬͯ͜ͱͩͧʂ͜͜ςετʹग़·͢ • ेͳܻͷ҆શૉͷੵ·͋ૉҼղ͢ΔͷແཧΖͱͳ͍ͬͯΔ
ਂງΓ͍ͨਓ͚ RSAཧղͷϩʔυϚοϓ
҉߸Խ/෮߸ཱ͕͢Δ͜ͱ Λཧղ͢ΔͨΊʹඞཁͬΆ͍ͭ • ϑΣϧϚʔͷখఆཧ • ؆୯Ί • ΦΠϥʔͷఆཧ • ϑΣϧϚʔͷఆཧ๏p͕ૉͰ͋Δඞཁ͕͚͋ͬͨͲɺͦΕΛҰ
ൠʹ֦ுͯ͠ޓ͍ʹૉͳa, nͰ͋Εཱ͢ΔΑ͏ʹͨͭ͠ • ͜ΕͰূ໌ͯ͠Δ͜ͱଟ͍͚ͲϑΣϧϚʔͷখఆཧͱେମ͓ͳ͡
de ≡ 1 (mod (p-1)(q-1)) ΛٻΊΔํ๏ ͷཧղʹඞཁͬΆ͍ͭ • ܈, ,
ମͷݴ༿ͷఆٛ͘Β͍ • ͷͪͷূ໌ʹ͠Εͬͱग़͖ͯͯͳΜͩ͜ΕͱͳΔ • ୯Ґݩ, ٯݩ͋ͨΓݴ༿ͷҙຯ͕Θ͔ΔͱΑ͛͞ • ϕζʔͷࣜ • ax+by=c͕࣮ղΛ࣋ͭͳΒcgcd(a,b)ͷഒͩͧͱ͍͏ͭɻݸਓతʹࠓճಡΜͩূ໌ͰҰ൪Ή͔ͣͬͨ • ϢʔΫϦουޓআ๏ • gcd(a,b)ΛޮΑ͘ͱΊΔΞϧΰϦζϜɻ͜Εূ໌͕؆୯ • ֦ுϢʔΫϦουޓআ๏ • ϕζʔͷࣜΛຬͨ͢ղΛ୳ࡧͰ͖Δɻ࣮ͱͯ͠ϢʔΫϦουޓআ๏ʹໟ͕ੜ͑ͨఔ • ͍ͭ͜Ͱ༨ͷٯݩ͕ͩͤΔઆ໌ผ్ಡ·ͳ͍ͱΘ͔Β͵͔
҆શͳn=pqΛ࡞Δํ๏ ͷཧղʹඞཁͬΆ͍ͭ • ૉੜΞϧΰϦζϜਖ਼͓͍͖Εͯͳ͍ • దͳૉͬΆ͍ͭ͘Δ -> ߴͳૉఆʂͷྲྀΕ͕͓͓͍ɻߴͳૉ ఆ֬తͳΞϧΰϦζϜ͔ͬΓ͔ͩΒෳճ܁Γฦͯ͠ޡݕΛ ͛͞Δ(n=10ͱ͔)
• Miller-Rabin๏: ૉ͡Όͳ͍ʹOKग़ͪ͠Ό͏ͷ25%ҎԼ • Baillie-PSW๏: ͍͔ͭ͘ͷૉఆΞϧΰϦζϜΛΈ߹Θͤͯຐվͨ͠ Έ͍ͨͳͭʁͪΌΜͱͬͯͳ͍͚ͲGoͱ͔ͰΘΕͯΔ͔ΒΑͦ͞͏
҆શͳn=pqΛ࡞Δํ๏ ͷཧղʹඞཁͬΆ͍ͭ • ૉੜΞϧΰϦζϜਖ਼͓͍͖Εͯͳ͍ • దͳૉͬΆ͍ͭ͘Δ -> ߴͳૉఆʂͷྲྀΕ͕͓͓͍ɻߴͳૉ ఆ֬తͳΞϧΰϦζϜ͔ͬΓ͔ͩΒෳճ܁Γฦͯ͠ޡݕΛ ͛͞Δ(n=10ͱ͔)
• Miller-Rabin๏: ૉ͡Όͳ͍ʹOKग़ͪ͠Ό͏ͷ25%ҎԼ • Baillie-PSW๏: ͍͔ͭ͘ͷૉఆΞϧΰϦζϜΛΈ߹Θͤͯຐվͨ͠ Έ͍ͨͳͭʁͪΌΜͱͬͯͳ͍͚ͲGoͱ͔ͰΘΕͯΔ͔ΒΑͦ͞͏ ͪͳΈʹ҆શૉͷੜʹ͍ͭͯ͋Μ· Γ͏·ͬͯ͘ͳ͍ؾ͕͍ͯͯ͠ɺ ૉʹҙͷૉఆͰૉRΛͭͬͨ͘ޙ R ͕ૉ͔͓͔ΘΓఆͯ͠ૉͩͬͨ Β͍ͦͭΛQͱͯ͠ฦ͢Έ͍ͨͳงғؾ͕͋ Δ ͪΌΜͱௐ͖Εͯͳ͍͚Ͳײతʹͦ Ε͕ૣͦ͏
RSAʹ͍ͭͯͷઆ໌ ͜Εʹͯऴྃ